Der Corona-Blog

Der Verlauf der Corona-Epidemie in Zahlen und Wahrscheinlichkeiten

Das Robert Koch Institut  veröffentlicht täglich die Fallzahlen in Deutschland. Hier wird täglich der zeitliche Verlauf und die Entwicklung der Wachstumsraten dargestellt und aus statistischer Sicht bewertet. Die Erkrankungswahrscheinlichkeit auf individueller Ebene und die Chance, die kommende Woche und das kommende Monat gesund zu bleiben wird ebenfalls berechnet. Dies dient dem Ziel, öffentliche Diskussionen zu objektivieren und dazu beizutragen, Entscheidungen für Gegenmaßnahmen auf objektive Grundlagen zu stellen.

Die Einschätzungen erfolgen in Kooperation mit Prof. Dr. Bodo Plachter, Institut für Virologie der Johannes Gutenberg Universität Mainz.

Wo geht die Reise hin? Einschätzung vom 8. April

[mit Dr. Constantin Weiser] Es wird kaum einen Menschen geben, der sich nicht fragt, wie es weiter geht mit CoV-2-Erkrankungen in Deutschland. Steigt alles weiter exponentiell an oder flacht sich die Entwicklung so langsam etwas systematisch ab?

Diese Frage kann auf einfache aber auch relativ robuste Weise über das Schätzen von Gompertzkurven beantwortet werden. (Unser herzlicher Dank geht an Prof. Schulze für die Anregung.) Gompertzkurven haben per Definition die folgende Struktur: y(t) = a*exp[-b*exp[-c*t]], wobei a, b und c positive Konstanten sind und exp[] für die Exponentialfunktion steht. Die Entwicklung einer Variablen y(t) in Abhängigkeit von der Zeit t wird also durch eine doppelte Exponentialstruktur beschrieben. Wenn man sich die Gleichung ansieht, sieht man auch sofort, dass ein Anstieg von t dazu führt, dass exp[-c*t] gegen Null geht und damit y(t) gegen den Wert a konvergiert. Deswegen heißt a auch die obere Schranke oder der asymptotische Wert von y(t). Der Parameter b ist ein Skalierungsparameter und c ist der Wachstumsparameter oder, im Zusammenhang mit COVID19, die Infektionsrate.

Nun kann man diese Gleichung verwenden, einen Fehlerterm addieren und mit der Methode der kleinsten Quadrate (da war doch was im Bachelor?) schätzen. Als zu erklärende Variable y(t) nehmen wir die Fallzahlen vom Robert Koch Institut (RKI), also die Anzahl der gemeldet Erkrankten am Tag t. Damit ergibt sich dann folgende Abbildung.

Mit den dunklen Punkten sehen wir die Beobachtungen des RKI. Mit der roten gestrichelten Linie sehen wir den geschätzen Zusammenhang und mit dem grünen Bereich sehen wir das 95% Konfidenzintervall für die Vorhersage. Wie sehen also mit dem letzten Punkt am 7. April den Wert von gestern und mit der gestrichelten Linie im grünen Bereich die erwarteten Werte für die Zukunft.

Inhaltlich sehen wir nun zwei Dinge: Zum einen sehen wir, dass wir uns gerade an einem Wendepunkt befinden. Die Kurve krümmt sich nicht mehr nach oben, sondern eher nach unten. Das heißt ganz konkret, dass ab sofort, wenn die Vorhersage denn stimmt, die Anzahl der Neuerkrankten pro Tag zurückgehen müsste.

Wir sehen auch, wohin die Reise geht. Wir nähern uns einer oberen Grenze an (das a von oben), das bei ca 184.000 Erkrankten liegt. Diese Grenze ist im Mai oder Juni erreicht. Danach gibt es nach dieser Vorhersage keine weiteren Erkrankungen mehr.

Und nun kommt natürlich das Aber - wieso sollten wir das glauben? Die grundsätzliche Annahme hinter diesem Modell (und eigentlich fast hinter allen Modellen, die zur Projektion verwendet werden) ist eine Stabilität des zugrundliegenden datengenerierenden Prozesses - wenn man es technisch ausdrücken möchte. Ganz praktisch gesprochen: Nur wenn die aktuellen Kontaktrestriktionen aufrecht erhalten werden und wenn sich alle Bewohner Deutschlands weiterhin daran halten (und nicht große Osterausflüge in großen Gruppen unternehmen), dann wird dieser Verlauf so eintreten.

Ok, so viele Wenns, wozu ist das Ganze überhaupt gut? Man kann wohl davon ausgehen, dass in den nächsten knapp zwei Wochen nicht viel passiert. DIe aktuellen Regeln für soziale und berufliche Kontakte werden so bleiben wie sie sind. Am Dienstag gibt es ein Treffen aller Ministerpräsidenten plus Bundeskanzlerin, um das weitere Vorgehen nach den Osterferien zu besprechen. Also sollte man davon ausgehen, dass wir durch diese Analyse bis nach den Osterferien, also bis zum 19. oder 20. April relativ gut wissen, wie hoch die Anzahl der Erkrankten sein wird -- vorausgesetzt das grundlegende Verhalten aller ändert sich nicht systematisch, wie schon geschrieben.

Also, wir wissen, wohin die Reise hingeht für die nächsten 10 Tage. Wenn dann für die Zeit ab 20. April neue Regeln gelten (evtl. partielle Lockerung in unterschiedlichen Bereichen), dann sollte wir aufgrund der üblichen Verzögerung ab dem 27. April eine neue Dynamik der Zahl der Erkrankten haben. Dann brauchen wir ein neues Modell, um die weitere Entwicklung zu verstehen. Bis dahin scheint erstmal alles planbar.

Einschätzung vom 6. April

[mit Dr. Jean Roch Donsimoni] Seit der letzten Einschätzung hat sich viel ereignet und unsere Projektion war an vielen anderen Stellen Thema. Heute brachte ein virtueller Workshop an der Universität Mainz alle (uns zur Zeit bekannten) Modelle und Wissenschaftler zusammen, die sich mit der Analyse und Projektion für Deutschland beschäftigen.

Grundsätzlich erscheint der aktuelle Verlauf eher positiv. Die Wachstumsraten sinken beständig und sowohl John Hopkins Universität (JHU) als auch Daten des Robert Koch Instituts (RKI) zeigen Brüche auf. In diesem Bild mit Daten des RKI sieht man links mit der roten gestrichelten Kurve das gleichmäßige Absinken der Zuwachsraten der Anzahl der Erkrankten über die jeweils letzten 5 Tage. Gleichzeitig ist am 28. März ein deutlich tiefer liegendes blaues Kreuz zu erkennen. Die blauen Kreuze stehen für die Zuwachsraten der Anzahl der Erkrankten pro Tag. Diese blieben auch in den darauffolgenden Tagen niedrig. Dieses starke Absinken der Wachstumsraten deutet auf einen Erfolg der gesundheitspolitischen Maßnahmen.

Schaut man sich diese Abbildung mit Daten der JHU an, dann sinken dort die Wachstumsraten ähnlich ab. Man kann sogar zwei starke Sprünge erkennen: einmal am 20. März und einmal am 28. März. Diese Sprünge in den Wachstumsraten links spiegeln sich dann in den Knicken der Wachstumskurve rechts an den gleichen Tagen wider. Diese Knicke in den JHU Daten deuten also auch darauf hin, dass gesundheitspolitische Maßnahmen tatsächlich erfolgreich waren. Über den Rückgang der Zuwachsraten am 20. März wurde ja bereits vorher berichtet, die Untersuchung ist inzwischen veröffentlicht.

Gleichzeitig ist natürlich, trotz der positiven Tendenz, das Risiko zu erkranken so groß wie nie zuvor. Innerhalb eines Tages wird aktuell eine von 13.000 Personen krank. Wenn man das mit Zahlen von vor gut zwei Wochen (am 20. März) vergleicht, dann wurde damals nur 1 Person von 28 Tausend krank.

Die drängende Frage aktuell ist, wie weiter mit den Kontaktsperren vorgegangen werden soll. Wir stehen vor einem großen Zielkonflikt zwischen Gesundheitsschutz, wirtschaftlicher Prosperität, aber auch individuellen Freiheiten und demokratischen Grundrechten.

 

 

Wie lange dauert die Corona-Epidemie? Einschätzung vom Sonntag, 29. März

Pressemitteilung

Die durch den Coronavirus CoV-2 ausgelöste Pandemie hält Deutschland und die Welt fest im Griff. Deren Bedeutung für die gesamtgesellschaftliche Gesundheit und Wirtschaft und für das allgemeine mentale Wohlempfinden in Deutschland benötigt keiner Betonung. Die dringendste Frage dieser Zeit scheint zu sein – wie lange geht das noch?

Antworten finden sich  auf Deutsch und ausführlicher auf Englisch. Hier ein Bild für einen optimistischen Verlauf.

Dabei zeigt die rote Linie den Verlauf ohne jegliche Intervention, als hätte es Bund-Länder Beschlüsse nicht gegeben. Die grüne Linie zeigt den Verlauf unter Berücksichtigung aller bisher getroffener Maßnahmen (in der Abbildung vereinfacht "Kontaktsperre" genannt). Die Linie geht davon aus, dass die Maßnahmen nach Ostern aufgehoben werden. Dies würde allerdings wieder zu einem stärkeren Anstieg der Krankheitsfälle führen. Diese Zuwachsraten waren nach den Bund-Länder Maßnahmen gesunken. Der schwarze Verlauf zeigt den Effekt einer Kontaktsperre, die verlängert wird.

In allen Fällen wird die Epidemie mindestens bis Juni oder Juli dauern. Alle Maßnahmen zur Reduktion der weiteren Übertragung von CoV-2 erscheinen somit weiterhin wünschenswert.

Die Maßnahmen gegen Corona zeigen erste Wirkungen! Einschätzung vom Donnerstag, 26. März

Pressemitteilung, heute.de

[gemeinsam mit Tobias Hartl und Prof. Dr. Enzo Weber, Universität Regensburg] Seit Samstag dem 14. März finden keine Bundesligaspiele mehr statt, fast alle anderen Sportveranstaltungen einschließlich des Amateurbereichs wurden abgesagt, seit Montag den 16. März sind in fast allen Bundesländern Schulen und Kindergärten geschlossen. In vielen Universitäten wurden Prüfungen abgesagt. Ziel dieser Maßnahmen, die einem Bund-Länder Beschluss vom 13. März folgten, ist es, die Anzahl der sozialen Kontakte und damit der Infektionen und Neuerkrankungen an SARS-CoV-2 zu reduzieren. Gleiches gilt für weitere darauffolgende Maßnahmen wie Schließungen im Bereich Gastronomie und Unterhaltung sowie Ausgangsbeschränkungen.

Allgemeiner Tenor öffentlicher Aussagen von Virologen, Politikern und vielen Medienbeiträgen war es, man müsse nun einige Zeit abwarten, um zu sehen, ob die Maßnahmen greifen. Nun ist es soweit, dass wir statistisch gesichert sagen können, dass die Maßnahmen offenbar gegriffen haben!

Dabei sind gewisse Verzögerungen zu beachten, bis sich Maßnahmewirkungen in den Daten niederschlagen können: vor allem durch die üblichen Inkubationszeit, die um ca. 5 Tage streut (Linton et al., J. Clin. Med. 2020, 9, 538; doi:10.3390/jcm9020538, Lauer et al., Ann Intern Med. 2020 Mar 10. doi: 10.7326/M20-0504), aber auch durch den Gang zum Arzt oder die Dauer für einen Test.

Der durchschnittliche Zuwachs der Anzahl der Erkrankten vom 24. Februar bis 19. März liegt bei 27% pro Tag. Ab dem 20. März reduziert er sich um 13 Prozentpunkte auf 14%, das entspricht einer Halbierung. Die oben genannten Eindämmungsmaßnahmen haben also offenbar den Fortgang der Corona-Epidemie bereits deutlich verlangsamt. Angesichts der oben genannten Verzögerungen sind weitere Wirkungen in den nächsten Tagen möglich.

Wie kommen wir zu dieser Einschätzung, obwohl das Robert Koch Institut (RKI) gestern nicht von einem sichtbaren Rückgang der Zuwachsraten der Fallzahlen gesprochen hat? Wir verwenden die inzwischen weithin bekannten und weit verbreiteten Daten der Johns-Hopkins-Universität (https://coronavirus.jhu.edu/map.html). Diese unterscheiden sich von den Daten des RKI dahingehend, dass mehrere Datenquellen verwendet werden (siehe https://coronavirus.jhu.edu/map-faq.html), einschließlich von Medienberichten.

Ist die Datensammlung der Johns-Hopkins-Universität vertrauenswürdig? Das RKI sammelt amtliche Daten. Das führt zu großer Vertrauenswürdigkeit. Auf der anderen Seite wurde in den letzten Tagen klar, dass die Übermittlung der Daten nicht immer perfekt funktioniert und deswegen die Daten des RKI Schwankungen und Verzögerungen unterliegen, die genaue Analysen erschweren. Somit ist ein Rückgriff auf andere Datenquellen eine weitere Möglichkeit, eine Frage (haben die Maßnahmen etwas gebracht?) zu beantworten.  Unsicherheit, wie gut die Datenquellen insgesamt die Realität beschreiben, besteht in jedem Falle.

Natürlich ist auch eine Zuwachsrate von 14% pro Tag weiterhin Grund zur Sorge. Aber 14% sind viel weniger als 27%. Wie klar dieser Bruch ist, zeigt die folgende fast selbsterklärende Abbildung.

Auf der horizontalen Achse ist die Zeit aufgetragen, vertikal ist der Logarithmus der Anzahl der Infizierten. Der Logarithmus ist eine mathematische Funktion, der einen exponentiellen Wachstumstrend in eine Gerade umwandelt. Die Steigung der Geraden gibt dann die Wachstumsrate an. Diese Abbildung zeigt also die durchschnittliche Wachstumsrate von 27% bis zum 19. März mit der Steigung der Geraden durch die Beobachtungen (Kreise). Ab dem 20. März, gekennzeichnet durch die senkrechte gestrichelte Linie, ist die Steigung der Geraden eindeutig flacher, eben bei 14%. Deutlicher kann ein Test auf Strukturbruch nicht ausfallen. Die statistische Sicherheit, dass man mit der Annahme einer Trendabflachung keinen Fehler macht, liegt bei weit über 99,9%.

Ein solcher statistischer Test ist wichtig, denn selbst wenn die gemessenen Wachstumsraten an dem einen oder anderen Tag niedriger liegen sollten als zuvor, muss das kein systematischer, also andauernder Effekt sein. Einzelne Werte können auch stark durch Zufallseinflüsse bestimmt sein: gutes Wetter mit vielen Gruppentreffen im Freien, kurzfristig verfügbare Testkapazitäten oder Ferientermine sind nur einige davon. Beispielsweise sind vom 6. bis 10. März, also rund 10 Tage nach der Mitte der Faschingsferien mit vielen Österreich- und Italienurlaubern, deutlich erhöhte Werte bei den gemessenen Infektionen sichtbar.

Haben die Bund-Länder Beschlüsse etwas gebracht? Einschätzung vom Montag, 23. März

Pressemitteilung

[gemeinsam mit Tobias Hartl und Prof. Dr. Enzo Weber, Universität Regensburg] Seit Samstag dem 14. März finden keine Bundesligaspiele mehr statt, fast alle anderen Sportveranstaltungen einschließlich des Amateurbereichs wurden abgesagt, seit Montag den 16. März sind Schulen und Kindergärten geschlossen. In Universitäten wurden Prüfungen abgesagt. Ziel dieser Maßnahmen, die einem Bund-Länder Beschluss vom 13. März folgten, ist es, die Anzahl der sozialen Kontakte und damit der Infektionen und Neuerkrankungen an SARS-CoV-2 zu reduzieren. Gleiches gilt für weitere darauffolgende Maßnahmen wie Schließungen in Bereichen wie Gastronomie, Handel und Unterhaltung sowie Ausgangsbeschränkungen.

Allgemeiner Tenor öffentlicher Aussagen von Virologen, Politikern und in vielen Medienbeiträgen war es, man müsse nun einige Zeit abwarten, um zu sehen, ob die Maßnahmen greifen. Was bedeutet „einige Zeit“ und was bedeutet, dass die „Maßnahmen greifen“? Intuitiv ist die Antwort klar: Man möchte sehen, dass die Zuwachsraten der Anzahl der Erkrankten zurückgehen. Wie sieht man also, dass Wachstumsraten zurückgegangen sind? Reicht ein Rückgang von 3 Prozentpunkten über einen Zeitraum von 3 Tagen? Oder benötigt man einen Rückgang um 10 Prozentpunkte über einen Zeitraum von 2 Wochen, dass man sicher sagen kann, die Maßnahmen waren erfolgreich?

Um diese Fragen zu beantworten, braucht es etwas Zeit, nicht jedoch wegen der Komplexität der Fragen, sondern weil Effekte in den Daten verzögert auftreten und man genug Beobachtungen benötigt. Wenn die Maßnahmen tatsächlich dazu geführt haben, dass die Anzahl der Infektionen ab dem 14. März und in den folgenden Tagen zurückgegangen ist, dann könnte man erwarten, dass aufgrund der üblichen Inkubationszeit, die um ca. 5 Tage streut (Linton et al., J. Clin. Med. 2020, 9, 538; doi:10.3390/jcm9020538, Lauer et al., Ann Intern Med. 2020 Mar 10. doi: 10.7326/M20-0504), des Verstreichens von Zeit zwischen dem Wahrnehmen von Symptomen und dem Gang zum Arzt (1-2 Tage), möglicher Dauer für einen Test bis schließlich der Meldedauer zum Robert Koch Institut (1 Tag) mindestens 7-8 Tage ins Land gehen, bis erste Effekte sichtbar sein könnten. Man könnte also hoffen, dass man ab dem 22. März und in den folgenden Tagen niedrigere Zuwachsraten der Anzahl der gemeldeten Erkrankten feststellt – was vermutlich auf die Maßnahmen zurückzuführen wäre.

Sofern die Wachstumsraten am Wochenende sich tatsächlich als niedriger herausstellen sollten, wäre dies schon ein Zeichen, dass die Maßnahmen greifen, oder wären wir noch unsicher bezüglich der Effekte der Maßnahmen?

Um diese Frage beantworten zu können brauchen wir – noch etwas Geduld, leider. Wir haben einen üblichen statistischen Test verwendet, mit dem wir die Entwicklung der Anzahl der gemeldeten Erkrankten nach Robert Koch Institut zwischen 24. Februar und 21. März gut erklären können. Wir haben dann angenommen, es hätte tatsächlich am 21. März einen Bruch gegeben und die Wachstumsraten sind erheblich abgesunken (auf 75 oder 50 Prozent des vorherigen Niveaus). Damit können wir fragen, wie lange es dauert, bis man mit ausreichender statistischer Sicherheit sagen kann, dass die Maßnahmen gegriffen haben.

Wieso kann man nicht einfach auf die Wachstumsraten ab dem 22. März schauen und sieht dann, ob sie gesunken sind oder nicht? Selbst wenn die gemessenen Wachstumsraten an dem einen oder anderen Tag niedriger liegen sollten als zuvor, muss das kein systematischer, also andauernder Effekt sein. Einzelne Werte können auch stark durch Zufallseinflüsse bestimmt sein: gutes Wetter mit vielen Gruppentreffen im Freien, kurzfristig verfügbare Testkapazitäten oder Ferientermine sind nur einige davon. Beispielsweise sind vom 6. bis 10. März, also rund 10 Tage nach der Mitte der Faschingsferien mit vielen Österreich- und Italienurlaubern, deutlich erhöhte Werte bei den gemessenen Infektionen sichtbar.

Die Antwort ist, dass wir mindestens fünf Tage nach dem 22. März warten müssen, bis wir gesichert Aussagen treffen können. Wir werden gesichert also voraussichtlich ab dem 27. März wissen, ob die Maßnahmen, die von Bund und Ländern am 13. März getroffen wurden, tatsächlich erfolgreich waren.

Schon jetzt lässt sich aber statistisch gesichert sagen, dass sich die Wachstumsraten in der vergangenen Woche bereits abgeflacht haben, und zwar von 27 Prozent auf 21 Prozent pro Tag. Hier könnten erste Auswirkungen von Verhaltensänderungen am Arbeitsplatz oder Einschränkungen bei Veranstaltungen sichtbar werden.

Einschätzung vom Freitag, 20. März

Es wäre heute zu früh, schon auf Effekte der Bund-Länder Beschlüsse zu hoffen. Deswegen folgt heute eine Aktualisierung der Entwicklung des Bestandes, der dazugehörigen Wachstumsraten und der Wahrscheinlichkeiten, an Corona zu erkranken.

Auf der linken Seite sieht man den (leider inzwischen) vertrauten exponentiellen Verlauf. Dieser wird vermutlich noch ein paar Wochen so andauern. Die täglichen Wachstumsraten auf der rechten Seite schienen sich nach unten zu bewegen, nur um am 19. und 20. März wieder weit über den 20% zu liegen. Betrachtet man die durchschnittliche Wachstumsrate über die letzten 5 Tage (die rote gestrichelte Linie), dann ist keine Besserung der Lage in Sicht. Die Zuwachsraten sind im Schnitt unverändert über 20%.

Die Wahrscheinlichkeit p zu erkranken (angenähert durch das Verhältnis der Neumeldungen zu Größe der gesunden Bevölkerung, siehe Methodenteil) sprang gestern stark nach oben. Auch dies ist leider nicht verwunderlich. Eine gegebene Wachstumsrate (von über 30%) führt bei einem hohen Ausgangsniveau zu hohen Zuwächsen. Teilt man diese durch eine fast konstante Größe (die gesunde Bevölkerung), steigt die Wahrscheinlichkeit zu erkranken. Somit sank auch die Gruppengröße, von der pro Tag eine Person erkrankt. Sie liegt inzwischen bei 28 Tausend. Also erkranken aktuell 2 Personen pro Fußballstadion (gefüllt mit 56 Tausend Zuschauern).

Einschätzung vom Dienstag, 17. März

[gemeinsam mit Rene Glawion] Der Bund-Länder-Beschluss vom letzten Freitag und die Folgen (u.a. Schulschließung, keine Sportveranstaltungen) sollte gut eine Woche später zu einer Reduktion zumindest der Wachstumsrate der Anzahl der gemeldeten Erkrankten führen. Diese Vermutung wurde in der Einschätzung vom 15. März erläutert. Die Frage ist nun, wie überprüft werden kann, ob diese Vermutung auch stimmt.

In dieser Abbildung sehen wir die Anzahl der gemeldeten Erkrankten, wie vom RKI täglich gemeldet, über die Zeit aufgetragen. Im Gegensatz zu den bisherigen Abbildungen ist nun im linken Teil allerdings der Logarithmus der Anzahl der gemeldeten Erkrankten auf der senkrechten Achse aufgetragen. Das hat den Vorteil, dass ein über die Zeit exponentieller Wachstumsverlauf zu einer Geraden wird. Man kann also die Wachstumsrate der (Anzahl der gemeldeten) Erkrankten als Steigung durch die einzelnen Punkte erkennen. Auf der rechten Seite sind weiterhin die gleichen Werte, allerdings in Niveaus so wie bisher auch und nicht in Logarithmen, aufgetragen.

Wenn man einfache statistische Methoden anwendet (Methode kleinster Quadrate), dann kann man eine sogenannte Regressionskurve links durch die beobachteten RKI Punkte legen und an deren Steigung das durchschnittliche Wachstum erkennen. Schaut man sich die Kurve „Regression“ in dieser Abbildung an, dann hat man auch jetzt schon den Eindruck, dass es bis zum 10. März eine leicht höhere Wachstumsrate gab als danach. Es gibt einen kleinen „Knick“ in der Regressionsgerade.

Man kann die Kurve „Regression“ auch verwenden, um eine Vorhersage für ein paar Tage zu wagen. Verlängert man die Kurve, sieht man, welchen weiteren Verlauf man bezüglich der Anzahl der Erkrankten erwarten würde. Wie obige Abbildung rechts zeigt, wird die Anzahl der Erkrankten in wenigen Tagen bei über 12 Tausend liegen.

Wenn die Vermutung von oben nun stimmt, dass die Bund-Länder Maßnahmen zu einem Rückgang der Wachstumsrate der gemeldeten Erkrankten führen, dann sollten wir in 4-5 Tagen eine klare Abflachung der Regressionskurve sehen. Wir hoffen, dass dies der Fall sein wird und werden entsprechend berichten.

Einschätzung vom Sonntag, 15. März

Warum die von Bund und Ländern am Freitag beschlossenen Maßnahmen hilfreich sind, aber erst in ein bis knapp zwei Wochen wirken werden

[Prof. Dr. Bodo Plachter und Prof. Dr. Klaus Wälde] Gestern gab es hier in diesem Blog keine Einschätzung, die Zahlen steigen unverändert an. Heute geht es um die von Bund und Ländern am Freitag beschlossenen Maßnahmen. Diese Maßnahmen, wie Schulschließung und Absage fast aller Sportveranstaltungen, wirken vermutlich erst in ein bis knapp zwei Wochen. Dies folgt aus einfachen grundsätzlichen Überlegungen.

Wir beobachten über das RKI die Anzahl der gemeldeten Erkrankungen. Diese sind in den vorherigen Einschätzungen (siehe unten) mit tatsächlichen Werten dargestellt, in der folgenden Grafik schematisch als die schwarze Linie Et, wobei Et für die gemeldeten Erkrankungen am Tag t stehen. Diese gemeldeten Erkrankungen hängen jedoch von den Infektionen It ab. Ohne Infektion keine Erkrankung. Nun liegt zwischen Infektion und Erkrankung der Zeitraum, den ein Mensch benötigt, bis er oder sie Symptome wahrnimmt (Inkubationszeit). Dieser liegt bei etwa 5 Tagen (Linton et al., J. Clin. Med. 2020, 9, 538; doi:10.3390/jcm9020538, Lauer et al., Ann Intern Med. 2020 Mar 10. doi: 10.7326/M20-0504). Dann muss der Erkrankte zum Arzt, der wiederum die Erkrankung ans RKI melden muss. Schätzt man dafür weitere 2-3 Tage (wobei dafür für Deutschland keine belastbaren Zahlen vorliegen), ergibt sich ein Zeitraum zwischen der Infektion und der Meldung als Erkrankter von 7-8 Tagen. Dieser Zeitraum ist in der Abbildung durch „Zeitliche Differenz zwischen Infektion It und Erkrankung Et …“ dargestellt.

Diese Verzögerung wird nun auch eine Rolle spielen bei dem Effekt der am Freitag beschlossenen Maßnahmen. Nehmen wir an, dass durch die Maßnahmen die Anzahl der Infizierten viel weniger steigt, so wie durch die gestrichelte fast horizontale rote Linie ab dem 14. März in der Abbildung dargestellt. Dann wird die Anzahl der gemeldeten Erkrankten trotzdem noch etwa 7-8 Tage steigen: Der Anstieg der Erkrankten am 14. März ist eine Folge der Infektionen von 7-8 Tagen vorher (roter horizontaler Pfeil). Also werden die Infizierten von vor 7, 6, 5 usw. Tagen auch noch erkranken. Somit sollten die Zahlen Et des RKI weiter ansteigen, so wie durch die gestrichelte schwarze Linie ab dem 14. März sichtbar. Circa 7-8 Tage nach dem 14. März sollte jedoch, wenn die Maßnahmen erfolgreich waren, mit einem sichtbaren Rückgang des Anstiegs der Anzahl der Erkrankten zu rechnen sein.

Es sei darauf hingewiesen, dass die durchschnittliche Inkubationszeit erheblichen Schwankungen unterliegt und für 95% aller Fälle zwischen 2 und 14 Tagen liegt (Linton et al., J. Clin. Med. 2020, 9, 538; doi:10.3390/jcm9020538). Somit sollte theoretisch ein schwacher Effekt nach 4-5 Tagen sichtbar sein, der Haupteffekt aber eben erst nach 7-8 Tagen.

Somit, seien wir geduldig und warten ab. Werfen wir niemanden Aktionismus oder falsche Handlungen vor, warten wir ab und geben wir den Maßnahmen eine Chance, sich in der tatsächlichen Anzahl von Erkrankten niederzuschlagen.

Einschätzung vom Freitag, 13. März

Im Vergleich zu gestern fiel die Wachstumsrate, im Vergleich zu den Vortagen ist sie höher. Zur Entspannung können diese Zahlen auch nicht beitragen. Die Hoffnung besteht, dass alle heute beschlossenen Maßnahmen in ein bis drei Wochen wirken. Alle bis heute Infizierten werden weiterhin bis Erreichen der üblichen Inkubationszeit zu einem Anstieg der Fallzahlen beitragen. Wenn die heutigen Maßnahmen greifen, können sich Wachstumsraten senken.

Das individuelle Risiko, zu den gemeldet Erkrankten zu gehören, sank minimal (linke Abbildung), es bleibt aber zu hoch. Eine Person von 120 Tausend kam zu gemeldeten Erkrankten hinzu. Auf eine Angabe der Fallzahlen in 7 Tagen bei gleichbleibenden Wachstumsraten wird heute verzichtet -- man kann sich die Größenordnung vorstellen.

Einschätzung vom Donnerstag, 12. März

Die heutige Zuwachsrate war eine Enttäuschung - viel zu hoch, sie lag bei über 50%. Damit scheint die Hoffnung der letzten Tage auf einen Rückgang der Wachstumsraten erstmal dahin. Warum ist (neben der offensichtlichen gesellschaftlichen Bedeutung) ein Rückgang der Wachstumsraten so wünschenswert? Ein Rückgang der Fallzahlen der Erkrankungen wird noch lange auf sich warten lassen (selbst wenn man die inzwischen Genesenen berücksichtigen würde). Also besteht der erste Lichtblick bei einem Rückgang eines Wachstumsprozesses immer im Rückgang der täglichen Wachstumsrate des Wachstumsprozesses.

Um die Entwicklung der Wachstumsraten über die jeweils letzten 5 Tage sofort visuell erfassen zu können, zeigt ab sofort der rechte Teil der ersten Abbildung immer auch mit der grünen gestrichelten Linie die durchschnittliche Wachstumsrate über die letzten 5 Tage. Somit sehen wir für den 12. März die hohe Wachstumsrate der Fallzahl von 51,2%, aber auch die niedrigere durchschnittliche Wachstumsrate über die letzten 5 Tage von 25,1%. Wie man die Entwicklung auch betrachtet, die Wachstumsraten sind zu hoch.

Mit einem Anstieg von 51,2% der Fallzahlen am heutigen Tag liegt ein trauriger Rekord in den Neuerkrankungen vor: 802 neu gemeldete Erkrankungen. Damit wurde heute eine von 104 Tausend Personen krank. Leider erscheint es ziemlich sicher, dass dieses Kleinerwerden der Gruppe von Einwohnern, aus denen eine Person neu erkrankt gemeldet wird, über die nächsten Tage weitergehen wird. Wir werden also weiterhin einen Anstieg der individuellen Erkrankungswahrscheinlichkeit (linke Abbildung) sehen und ein weiteres Abfallen der Gruppengröße (rechte Abbildung).

Ziel dieser Meldungen ist es, "öffentliche Diskussionen zu objektivieren". Leider kann diese Objektivierung nicht dazu beitragen, Sorgen zu senken. Gestern gab es keinen Hinweis darauf, wie hoch die erwartete Anzahl von gemeldeten Erkrankten in 7 Tagen sein wird. Heute reicht der Hinweis, dass bei unveränderten Wachstumsraten die Grenze von 10 Tausend gemeldeten Erkrankten in weniger als 7 Tagen erreicht sein wird.